FACTORIZACION

Factorización de Expresiones Algebraicas
Objetivos: Al terminar esta lección podrás expresar polinomios y otras expresiones algebraicas como el producto de
otras expresiones más sencillas.
Cuando multiplicamos dos expresiones conseguimos, generalmente, una expresión más complicada,
bien sea porque tiene más términos o porque el grado de los términos es mayor. La factorización
es el proceso por el cual expresamos una expresión como producto de dos o más factores. La
factorización deshace lo que la multiplicación hace, convirtiendo una expresión que podría ser
complicada, en el producto de dos o más expresiones (factores) que son típicamente más sencillas.
Por ejemplo, si multiplicamos (2x + 5)(x + 3) conseguimos 2x 2 +11x + 15, lo cual tiene más
términos que cualquiera de los dos factores que multiplicamos y es de mayor grado (2) que ambos
factores (que son de grado 1). En este caso decimos que 2x 2 +11x + 15 puede ser factorizado
como (2x + 5)(x + 3).
La factorización será útil para simplificar algunas expresiones como la suma de fracciones y la
división de polinomios. También puede usarse para determinar las soluciones de una ecuación. En
esta lección estudiaremos algunas técnicas que nos facilitan hallar una factorización de una
expresión algebraica dada. Para aprovechar mejor este material es necesario dominar la destreza
de multiplicar expresiones que puedes repasar en la lección 3.
Identificación del factor común
Usamos la propiedad distributiva para realizar la multiplicación de una suma (o resta) de términos
por un factor. Por ejemplo (3 + x)y = 3y + xy . Podemos igualmente usar esta propiedad para
deshacer esta multiplicación. Esto requiere que identifiquemos el factor que es común a todos
los términos en la expresión. En la expresión 3y + xy ,y es el factor común. Por lo tanto nuestra
factorización será 3y + xy = (3 + x)y , ó, equivalentemente, 3y + xy = y(3 + x).
Generalmente conviene factorizar el factor común “máximo” posible. Por ejemplo, en el polinomio
12x 3y2 - 9x 2y3 + 15xy4 podemos identificar como factor común a todos los términos, varios
monomios:
xy es factor común porque
12x 3y2 = 12x 2y × xy
-9x 2y3 = -9xy2 × xy
15xy4 = 15y3 × xy
3xy es factor común porque
12x 3y2 = 4x 2y ×3xy
-9x 2y3 = -3xy 2 ×3xy
15xy4 = 5y3 × 3xy
Similarmente podemos establecer que 3xy2 también es factor común.
Preferimos factorizar el factor común máximo (FCM) de los términos, el cual puede hallarse de
Lección 4 - Factorización de expresiones algebraicas
Preferimos factorizar el factor común máximo (FCM) de los términos, el cual puede hallarse de
la siguiente manera:
Primero: Factorizamos completamente los términos. Esto significa que los factores
obtenidos son primos (que no pueden ser factorizados más).
Segundo: El FCM es el producto de todos los factores presentes en las factorizaciones del
paso previo, elevados a la menor potencia en que aparecen, la cual es la potencia 0
si hay una factorización en la que el factor no aparezca.
Ejemplos:
1) Para hallar el FCM de 15a3{ b5c6, 25ab2c2 , 10a2b4c3}:
Primero: Factorizar los términos:
15a3b5c6 = 3 ×5 × a3 × b5 ×c6
25ab2c2 = 52a × b2 × c2
10a2b4c3 = 2 ×5 ×a2 ×b4 ×c3
ì
í
ï
î
ï
Segundo: Formar el FCM. Los factores presentes son 2, 3, 5, a, b, & c. La
menor potencia de 2 que aparece es 20 (pues el 2 no aparece en
todas las factorizaciones), la de 5 es 51, la de 3 es 30, la de a es
a1, la de b es b2, y la de c es c3. Entonces el FCM es
20 × 51 ×30 × a1 × b2 × c3 = 5ab2c3 .
2) Si queremos factorizar el polinomio 30x3y2 + 12x 2y3z , comenzamos
factorizando completamente sus términos:
30x3y2 = 2 × 3× 5× x 3 × y2
12x 2y3z = 22 ×3× x2 × y3 × z
Luego formamos el FCM: 2 × 3× x 2 × y 2 = 6x 2y2 . Finalmente hacemos la
factorización: 30x3y2 + 12x 2y3z = 6x 2y2 (5x + 2yz).
Ejercicios:
Factoriza completamente los siguientes polinomios:
1) 18a3b + 9abc2 - 27ab4c3
2) -4x 3y2 +14xy3 z + 8xy 4 z2
3) 9xy + 3y 2w
4) 15a - 25b Respuestas
Lección 4 - Factorización de expresiones algebraicas
Reconocimiento de un producto especial
Hay algunas multiplicaciones de polinomios cuyos resultados son productos sencillos. Si
recordamos estas multiplicaciones, al ver uno de tales productos podremos dar su factorización.
Algunos de estos productos son:
1) (x + y)(x - y) = x 2 - y2
2) (x + y)(x + y) = x 2 + 2xy + y2
3) (x + y) x 2 - xy + y( 2 ) = x 3 + y3
4) (x - y) x 2 + xy + y( 2 ) = x 3 - y3
Ejemplos:
3) Usando el producto especial 1, reconocemos que la factorización de x2 - 9 es
(x + 3)(x - 3)
4) En el polinomio w2 + 8w +16 reconocemos al producto especial 2 y por lo
tanto su factorización es (w + 4)(w + 4)
5) La factorización de 8 - a3 es (2 - a) 4 + 2a + a( 2 ), usando el producto 4 de la
lista previa.
6) a3 +1 puede ser factorizado como (a +1) a2 ( - a +1), usando el producto 3 de
la lista previa.
7) A veces es necesario usar un poco de imaginación para reconocer alguno de los
productos especiales como muestra la siguiente factorización:
4a2 - 9b6 = (2a)2 - 3b( 3 )2 = 2a - 3b( 3 ) 2a + 3b( 3 )
8) Otras veces debemos hacer más de una factorización antes de obtener una
factorización completa como en este caso en el que comenzamos identificando
un factor común y luego usamos el producto especial 3:
40 x7 + 5xy 9 = 5x 8x6 + y( 9 ) = 5x 2x( 2 )3 + y( 3 )3 ( )
= 5x 2x2 + y( 3 ) 2x( 2 )2 - 2 x2 × y3 + y( 3 )2 ( )
= 5x 2x2 + y( 3 ) 4x 4 - 2x2y3 + y( 6 )
Lección 4 - Factorización de expresiones algebraicas
Ejercicios
Factoriza completamente las siguientes expresiones.
5) 64 - a2
6) 8a3 + 64
7) 56 - 7x 3
8) 4x 2 + 12x + 9
9) 3xy 6 - 3x
10) x 9
4 - 2x3
2 +1 Respuestas
Factorización de polinomios cuadráticos
El polinomio típico en una variable tiene tres términos: uno cuadrático, uno lineal (i.e. de grado 1)
y uno constante (i.e. de grado 0). Si tal polinomio es factorizable, generalmente lo es como
producto de dos factores de la forma (ax+b). Antes de seguir con más detalles, conviene tener en
cuenta que hay polinomios que no podremos factorizar usando números reales, como, por ejemplo,
x2 +1.
Consideremos la multiplicación (ax + b)×(cx + d). Este multiplicación produce
(ac)x2 + (ad + bc)x + bd . Esto sugiere que al tratar de factorizar un polinomio cuadrático con
dos factores lineales, usaremos factores lineales que tengan como coeficientes de la variable,
números que al multiplicarse den el coeficiente del término cuadrático del polinomio que queremos
factorizar. Los términos constantes de los factores serán tales que al multiplicarse den igual al
término constante del polinomio que queremos factorizar.
Ejemplos:
9) Para factorizar al polinomio 5x2 + 13x + 6, consideramos el siguiente esquema
de factorización: (__ x + __)(__ x + __). Como coeficientes de las x
usaremos los factores de 5, que sólo pueden ser 5 & 1. Como términos
constantes podemos usar 6 & 1, ó -6 &-1, ó 3 & 2, ó -3 & -2. Además cada
miembro de estas parejas de factores pueden ser usados en el primer o en el
segundo factor del esquema. Esto implica que existen 8 formas de completar
el esquema(5x + __)(x + __). Podemos tratar cada una de estas
combinaciones hasta verificar que la factorización correcta es
(5x + 3)(x + 2). Con la práctica podrás determinar la factorización correcta
sin ensayar muchas de las factorizaciones posibles.
10) La factorización de 24a2 + 25a + 6 es (8a + 3)(3a + 2).
Lección 4 - Factorización de expresiones algebraicas
Ejercicios
Factoriza completamente
11) 3x 2 + 17x + 10
12) 40u2 +17u -12
13) 14a2 + 18a + 4 Respuestas
Factorización por agrupamiento
Algunos polinomios de más de tres términos pueden ser factorizados, si comenzamos agrupando los
términos de modo que cada grupo sea factorizable, y al hacerlo descubrimos un factor común o un
producto especial.
Ejemplos
11) Para factorizar el polinomio 2x 2 + 2xy + 3x + 3y, podemos comenzar
agrupando los primeros dos términos y los últimos dos:
(2x2 + 2xy)+ (3x + 3y). Luego factorizamos cada uno de los grupos:
2x(x + y) + 3(x + y). Ahora notamos que (x + y) es factor común a ambos
grupos y terminamos factorizando como (2x + 3)(x + y).
12) La factorización de x2 + 2xy -1 + y 2 , puede conseguirse agrupando los
primeros dos términos y el último. De esa manera, re-escribimos el polinomio
como x 2 + 2xy + y( 2 ) -1. Ahora notamos que el primer grupo es el cuadrado de
(x + y), por lo cual podemos expresar el polinomio como (x + y)2 - 12 , que
reconocemos como uno de los productos especiales con factorización final
(x + y +1)(x + y -1).
Ejercicios
Factoriza completamente
14) 7x 2 + 7xy - 2x - 2y
15) x2 y2 - 9x 2 - y2 + 9
16) -t 4 + t2 + 2rt + r2 Respuestas