miércoles, 6 de agosto de 2008

INECUACIONES

Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad; Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad; a este conjunto se le conoce como Intervalo.
En
matemáticas, una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden relativo de dos objetos (ver también ecuación). La notación a <> b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b) y a ≥ b (a es mayor o igual que b).
Si el signo comparativo de la inecuación es el mismo para cualquier valor que tomen las variables por las que está definida, entonces se hablará de una inecuación "absoluta" o "incondicional" (véase
entidad). Si por el contrario, es el mismo sólo para ciertos valores de las variables, pero se invierte o destruye en caso de que éstos se cambien, será una inecuación "condicional". El signo comparativo de una inecuación no se cambia si a ambos miembros se les suma o resta el mismo número, o si se les multiplica o divide por un número positivo; en cambio, se invierte si ambos miembros se multiplican o dividen por un número negativo.
La notación a >> b quiere decir que a "es mucho mayor que" b. El significado de esto puede variar, refiriéndose a una diferencia entre ambos indefinida. Se usa en ecuaciones en las cuales un valor mucho mayor causará que la resolución de la ecuación arroje a luz un cierto resultado.

Propiedades [editar]
Las inecuaciones se rigen por las siguientes
propiedades:

Tricotomía [editar]
La propiedad de la tricotomía dicta que:
Para dos
números reales cualquiera, a y b, sólo se cumplirá una de las siguientes afirmaciones:
a < b
a = b
c > d

Transitividad [editar]
El principio de transitividad de las inecuaciones dicta que:
Para tres números reales cualesquiera, a, b, y c:
Si a > b y b > c; entonces a > c
Si a < b y b < c; entonces a < c

Simetría [editar]
Las relaciones en inecuaciones pueden ser invertidas, queriendo decir esto que:
Para dos números reales, a y b:
Si a > b entonces b < a
Si a <> a
>(mayor que)
<(menor que)

Adición y sustración [editar]
Las propiedades relacionadas con la
adición y la sustración:
Para tres números reales, a, b, y c:
Si a > b; entonces a + c > b + c y a − c > b − c
Si a < b; entonces a + c < b + c y a − c < b − c

Multiplicación y división [editar]
Las propiedades relativas a la
multiplicación y la división:
Para tres números reales, a, b, y c:
Si c es
positivo y a > b; entonces a × c > b × c y a / c > b / c
Si c es positivo y a < b; entonces a × c < b × c y a / c < b / c
Si c es
negativo y a > b; entonces a × c < b × c y a / c < b / c
Si c es negativo y a <> b × c y a / c > b / c
Nota:
Si ambos términos de una inecuación se multiplican o dividen por la misma expresión negativa, el símbolo de la desigualdad se invierte.

Aplicando una función a ambos miembros [editar]
Puede aplicarse cualquier
función monótona creciente a ambos lados de una inecuación manteniendo el mismo signo de desigualdad.

Notación encadenada [editar]
La notación a < b < c establece que a < b (a menor que b) y que b < c (b menor que c) y aplicando la propiedad transitiva anteriormente citada, puede deducirse que a < c (a menor que c). Obviamente, aplicando las leyes anteriores, puede sumarse o restarse el mismo número a los tres términos, así como multiplicarlos o dividirlos todos por el mismo número (distinto de cero) invirtiendo las inecuaciones según su signo. Debe tenerse cuidado de utilizar en todos los casos el mismo número. Así, a < b + e < c es equivalente a a - e < b < c - e.
Esta notación se puede extender a cualquier número de términos: por ejemplo, a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an establece que ai ≤ ai+1 para i = 1, 2, ..., n−1. Según la propiedad de la transitividad, esta condición es equivalente a ai ≤ aj para cualquier 1 ≤ i ≤ j ≤ n.
Ocasionalmente, la notación encadenada se usa con inecuaciones en diferentes direcciones. En ese caso el significado es la
conjunción lógica de las desigualdades entre los términos adyacentes. Por ejemplo, a <> c ≤ d significa que a <> c, y c ≤ d. Aparte del uso poco frecuente en matemáticas, esta notación existe en unos pocos lenguajes de programación tales como Python.

Desigualdades conocidas [editar]
Véase también
lista de desigualdades.
Los
matemáticos suelen usar inecuaciones para aproximarse a cantidades cuyas fórmulas exactas no pueden ser fácilmente computadas. Algunas se usan tan a menudo que se les ha puesto nombre, como:
Desigualdad de Azuma
Desigualdad de Bernoulli
Desigualdad de Boole
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Desigualdad de Chebyshev
Desigualdad de Chernoff
Desigualdad de Cramér-Rao
Desigualdad de Hoeffding
Desigualdad de Hölder
Desigualdad de las medias aritmética y geométrica
Desigualdad de Jensen
Desigualdad de Markov
Desigualdad de Minkowski
Desigualdad de Nesbitt
Desigualdad de Pedoe
Desigualdad triangular

metodo de gauss

GAUSS ES UNO DE LOS MATEMÁTICOS MÁS IMPORTANTES DE LA HISTORIA .............
El método de Gauss consiste en convertir un sistema "normal" de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno escalonado , en el que la 1ª ecuación tiene 3 incógnitas , la 2ª tiene 2 incógnitas y la tercera 1 incógnita . De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo hacia arriba , calcular el valor de las 3 incógnitas .
Para transformar el sistema en uno que sea escalonado se combinarán las ecuaciones entre sí (sumándolas , restándolas , multiplicándolas por un número , etc.)
Ejemplo :
La 1ª ecuación siempre se deja igual , (procurando que esta sea la más sencilla) y a la 2ª y 3ª ecuación se debe anular el término que lleva la x .
Una vez que hemos anulado los términos en x debemos dejar fija la 1ª y 2ª ecuación y anular el término que lleva la y en la 3ª ecuación
De la última ecuación obtenemos que z = -256/-128 = 2, que sustituyendo en B’’ resulta
- y + 9·2 = 13 Þ y = 5
y a su vez sustituyendo en A’’ obtenemos que :
2x + 3·5 – 7·2 = -1 Þ x = -1
Por lo tanto la solución del sistema es (-1, 5, 2)
Clasificación de los sistemas :
Los sistemas de ecuaciones pueden ser de 3 tipos :
Sistema compatible determinado (S.C.D.) : una única solución
Sistema compatible indeterminado (S.C.I.) : infinitas soluciones
Sistema incompatible (S.I.) : no tiene solución
En el ejemplo anterior hemos obtenido un S.C.D. pero ¿cuándo obtendremos los otros dos tipos? .
Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = K , siendo K un número distinto de 0 , tendremos un S.I. ya que obtenemos un absurdo .
Por ejemplo :

Dejamos fija la 1ª ecuación e intentamos anular la x de la 2ª y 3ª
Quitamos la y de la 3ª ecuación :
Como se observa hemos obtenido un absurdo , ya que 0 no es igual a 12 , por lo que el sistema no tiene solución .
Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = 0 , es decir se nos anule alguna ecuación , y el sistema resultante tenga más incógnitas que ecuaciones tendremos un S.C.I. en función de uno o dos parámetros (depende de las ecuaciones que se anulen) .
Por ejemplo :
Dejamos como siempre la 1ª ecuación igual e intentamos quitar la incógnita x de la 2ª y 3ª ecuación .
Si intentamos anular la y de la 3ª ecuación vemos que se nos anula la 3ª ecuación
Obtenemos por tanto un sistema con dos ecuaciones y 3 incógnitas (hay más incógnitas que ecuaciones) por lo que tendrá infinitas soluciones . Una de ellas sería por ejemplo dar a la z el valor z=0 y así obtendríamos que y = -13 , x = 19

MATRICES

En matemáticas, una matriz es una ordenación rectangular de números, o más generalmente, una tabla consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse.
Definiciones y notaciones [
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Una matriz es una tabla o arreglo rectangular de numeros. Los numeros en el arreglo se denominan elementos de la matriz.
Las líneas horizontales en una matriz se denominan filas y las líneas verticales se denominan columnas. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y m y n son sus dimensiones. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después.
La entrada de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama entrada i,j o entrada (i,j)-iésima de A. Esto se escribe como Ai,j o A[i,j].
Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.
Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del
espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.

Ejemplo [editar]
La matriz

es una matriz 4×3. El elemento A[2,3] o a2,3 es 7.
La matriz

es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.

Suma de matrices [editar]
Dadas las matrices m-por-n A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo:


Propiedades de la suma de matrices [editar]
Asociativa
Dadas las matrices m-por-n A, B y C
A + (B + C) = (A + B) + C
Conmutativa
Dadas las matrices m-por-n A y B
A + B = B + A
Existencia de matriz cero o matriz nula
A + 0 = 0 + A = A
Existencia de matriz opuesta
con -A = [-aij]
A + (-A) = 0

Producto de una matriz por un escalar [editar]
Dada una matriz A y un número c, el producto escalar cA se calcula multiplicando el
escalar c por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Por ejemplo:


Propiedades del Producto Escalar [editar]
Sean A y B matrices y c y d escalares.
Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.
Asociatividad: (cd)A = c(dA)
Elemento Neutro: 1·A = A
Distributividad:
De escalar: c(A+B) = cA+cB
De matriz: (c+d)A = cA+dA

Producto de matrices [editar]
Artículo principal:
Producto de matrices
El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m-por-n y B es una matriz n-por-p, entonces su producto matricial AB es la matriz m-por-p (m filas, p columnas) dada por:

para cada par i y j.
Por ejemplo:

El producto de dos matrices no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de
matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas.

División de matrices [editar]
Es el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador, es decir A / B = A * B^-1

Inversa de una matriz [editar]
La inversa de una matriz es 1 dividido por el determinante de dicha matriz mutiplicado por sus adjuntos transpuestos.

Clases de matrices [editar]
Algunas matrices presentan características particulares en la posición o en la naturaleza de sus elementos. Muchas de ellas son tan importantes en la teoría y en las aplicaciones, que han recibido denominaciones específicas.
Matriz antisimétrica
Matriz de adjuntos
Matriz banda
Matriz cuadrada
Matriz definida positivamente
Matriz de diagonal estrictamente dominante
Matriz diagonal
Matrices elementales
Matriz hermítica
Matriz idempotente
Matriz identidad
Matriz inversa
Matriz invertible
Matriz involutiva
Matriz jacobiana
Matriz nilpotente
Matriz normal
Matriz nula
Matriz no singular
Matriz ortogonal
Matriz permutación
Matriz simétrica
Matriz singular
Matriz traspuesta
Matriz triangular (superior o inferior)

Las matrices en la Computación [editar]
Las matrices son utilizadas ampliamente en la computación, por su facilidad y liviandad para manipular información. En este contexto, son la mejor forma para representar
grafos, y son muy utilizadas en el cálculo numérico.

Historia [editar]
El origen de las matrices es muy antiguo. Un
cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C.[1]
Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas.[2] En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kowa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693.
Los "cuadrados mágicos" eran conocidos por los matemáticos
árabes, posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China. Los primeros "cuadrados mágicos" de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasa'il Ihkwan al-Safa).[1]
Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz, a finales del siglo XVII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX.
El término "matriz" fue acuñado en
1848, por J. J. Sylvester. En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Grassmann, Frobenius y von Neumann están entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de matrices.
Olga Taussky-Todd (1906-1995), durante la II Guerra Mundial, usó la teoría de matrices para investigar el fenómeno de aeroelasticidad llamado fluttering.

SISTEMA DE ECUACIONES

En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.
Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del
alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.

Sistema general [editar]
La forma genérica de un sistema de ecuaciones y incógnitas es la siguiente:
(
1)
donde son
funciones de las incógnitas. La solución, perteneciente al espacio euclídeo , será tal que el resultado de evaluar cualquier expresión con los valores de dicha solución, verifique la ecuación.

Representación gráfica [editar]
Los sistemas de 2 o 3 incógnitas admiten representaciones gráficas cuando las funciones en (
1) son continuas a tramos. En cada ecuación se representa como una curva o una superficie curva. La existencia de soluciones en ese caso puede deducirse a partir de la existencia de intersecciones comunes a dichas curvas o superficies curvas.

Clasificación de los sistemas [editar]
Un sistema de ecuaciones sobre puede clasificarse de acuerdo con el número de soluciones en:
Sistema incompatible cuando no admite ninguna solución.
Sistema compatible cuando admite alguna solución que a su vez pueden dividirse en:
Sistemas compatibles indeterminados cuando existe un número infinito de soluciones que forman una
variedad continua.
Sistemas compatibles determinados cuando admiten un conjunto finito de soluciones, o un conjunto infinito de soluciones aisladas con a lo sumo un número finito de
puntos de acumulación.

Sistema lineal [editar]
Artículo principal:
Sistema lineal de ecuaciones
Un sistema como el anterior en que las anteriores ecuaciones son funciones afines. A diferencia del caso general, la solución de los sistemas de ecuaciones lineales son fáciles de encontrar cuando los coeficientes de las ecuaciones son números reales o complejos. También existen medios generales cuando los coeficientes pertenecen a un anillo, aunque la búsqueda de las soluciones en ese caso puede ser un poco más complicada.
Una característica importante de los sistemas lineales de ecuaciones es que admiten la llamada forma matricial. Esa forma permite representar el sistema usando tres
matrices, de la siguiente forma:
(
2)
La primera es la matriz de coeficientes, donde el término representa al coeficiente que acompaña a la j-ésima incógnita de la ecuación i-ésima. La segunda es la matriz de incógnitas, donde cada término se corresponde con una de las incógnitas que queremos averiguar. Y la tercera matriz es la de términos independientes, donde el cada representa al término independiente de la ecuación i-ésima.
Esta representación matricial facilita el uso de algunos métodos de resolución, como el
método de Gauss, en el que, partiendo de la matriz aumentada (matriz de coeficientes a la que se le ha acoplado la matriz de términos independientes), y aplicando transformaciones lineales sobre las ecuaciones, pretendemos llegar a una matriz de este tipo:
Una vez la matriz se ha triangulado, el valor de cada término se corresponderá con el de la incógnita . Si nos encontramos alguna fila del tipo , con , el sistema no tendrá solución.

Existencia de soluciones [editar]
El
teorema de la función inversa proporciona condiciones suficientes de existencia de solución, de un sistema como (1) con . Si sucede que la función vectorial:
Es diferenciable con continuidad, es decir, es de clase y su
jacobiano no se anula en ningún punto entonces existe una única solución del sistema (1). Ya que en ese caso existirá una función inversa, y podremos escribir la solución buscada simplemente como:
Sin embargo, la condición de diferenciabilidad anterior aún siendo condición suficiente, no es una condición necesaria, por lo que existen sistemas de ecuaciones en que las funciónes no son diferenciables y sin embargo, existen soluciones. Más aún, en casos en que existe más de una solución si la función es diferenciable entonces el jacobiano se anula en algún punto, pero eso no impide que existan varias soluciones.
En casos de un menor número de ecuaciones que de incógnitas, cuando , entonces el sistema es complatible indeterminado o carece de soluciones. En esos casos, el
teorema de la función implícita proporciona condiciones suficientes, aunque no necesarias, para la existencia de soluciones de un modo similar a como el teorema de la función inversa las proporciona en el caso .

ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas, sin importar el valor que tomen las variables implicadas en cada expresión (denominados miembros de la ecuación; el primer miembro es el que aparece antes del signo de igualdad, y el segundo miembro es el que aparece en segundo lugar, aunque es perfectamente válido permutarlos).
En muchos
problemas matemáticos, la condición del problema se expresa en forma de ecuación algebraica. Se llama solución de la ecuación a cualquier valor de las variables de la ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que se plantea la ecuación, que cumpla la condición de satisfacer la ecuación. Al igual que en otros problemas matemáticos, es posible que ningún valor de la incógnita haga cierta la igualdad. También puede que todo valor posible de la incógnita valga. Estas últimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones, se denominará inecuación.
Una ecuación polinómica es una igualdad entre dos polinomios (p. ej.: ). En particular, realizando transformaciones sobre los miembros de la ecuación (en ambos miembros las mismas transformaciones y en el mismo orden) puede conseguirse que uno de los miembros se reduzca a 0, razón por la cual se suele considerar que una ecuación polinómica es una en la que en el primer miembro aparece un polinomio y en el segundo aparece el cero (volviendo a nuestro ejemplo, la ecuación resultaría ).
Una
ecuación funcional es una ecuación en la que las constantes y variables que intervienen no son números reales sino funciones. Si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llaman ecuaciones diferenciales.

Cómo resolver una ecuación de primer grado [
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Para la resolución de ecuaciones de primer grado podríamos definir un esquema con los pasos necesarios.
Para empezar comencemos con una ecuación de primer grado sencilla:
9x − 9 + 108x − 6x − 92 = 16x + 28 + 396
Nuestro objetivo principal es dejar sola la x en uno de los miembros de la ecuación, el izquierdo o el derecho.
1- Transposición: Lo primero que debemos hacer es colocar los términos con X en un miembro, y los números en otro. Para ello, podemos ver que hay algunos términos que tendremos que pasar al otro miembro. Esto lo podemos hacer teniendo en cuenta que:
Si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6)
Si el número está sumando (Ej: +9), pasa al otro lado restando (-9)
Si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2)
Si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5)
Una vez que ya hemos pasado todos los términos en la ecuación, esta quedaría así:
9x + 108x − 6x − 16x = 28 + 396 + 9 + 92
Como puede verse, todos los términos que dependen de X han quedado a la izquierda del signo igual (en el primer miembro), y todos los números enteros han quedado a la derecha (en el segundo miembro).
2- Simplificación:
El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta, por lo que realizaremos la operación de polinomios que se nos plantea.
Es decir: en nuestro caso, por un lado realizamos la simplificación del primer miembro: 9x+108x-6x-16x = (9+108-6-16)x = 95x
Y por otro lado: 28+396+9+92 = 525
De forma la ecuación simplificada sería:
95x = 525
3- Despejar:
Ahora es cuando debemos cumplir nuestro objetivo final, dejar la X completamente sola; para ello volveremos a recurrir a la transposición.
Es decir, en nuestra ecuación deberíamos pasar el 95 al otro lado, y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):
x = 525 / 95
Comprueba que el ejercicio ya está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que nos dice que la x ocultaba el número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar esto.
Resolvemos la fracción (Numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si nos diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.
En nuestra ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95=5.5263157894737)
por lo tanto
x=525/95
y simplificamos
x=105/19
Explicacion de Transposición:
Arriba observaste que si un numero pasa al otro lado de la ecuacion cambia su signo por el contrario, eso es debido a que en realidad, para pasar un número a otro lado se haria así:
3x-5=27
para pasar se aplicaria esto:
3x-5+5= 27+5
Se pone el numero OPUESTO en los dos lados, si se restara, se sumaria, si se sumara, se restaria, si se dividiera se multiplicaria, y si es multiplicacion se dividiria.

Resolución de ecuaciones de primer grado (Problema) [editar]
Pongamos el siguiente problema: número de canicas que tengo más tres es igual al doble de las canicas que tengo menos 2. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una expresión algebraica:
x + 3 = 2x − 2
Se prodria leer asì: X numero de canicas + 3 canicas es igual a 2 por el numero x de canicas menos 2 canicas.
El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento:
x + 3 = 2x − 2
Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:
x − 2x = − 2 − 3
Que, simplificado, resulta:
− x = − 5
Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:
x = 5
El problema está resuelto.
Todas las ecuaciones de segundo grado pueden tener como mucho 2 soluciones válidas. Para la resolución de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:

Ecuaciones de segundo grado [editar]

Ecuaciones de la forma ax²+c=0 [editar]
Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:
x2 − 16 = 0
Pasamos -16 al segundo miembro
x2 = 16
Ahora pasamos el exponente al segundo miembro, haciendo la operación opuesta; en este caso, raíz cuadrada

La ecuación ya está resuelta

Ecuaciones de la forma ax²+bx=0 [editar]
Tengamos:
3x2 + 9x = 0
En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambas expresiones:
x(3x + 9) = 0
Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera solución), o:
3x + 9 = 0
3x = − 9

Por lo tanto, las 2 soluciones válidas para esta ecuación son 0 y -3

Ecuaciones de la forma ax²+bx+c=0 [editar]
Tengamos por ejemplo la ecuación:
x2 + 5x + 6 = 0
Para resolver ecuaciones cuadraticas utilizamos directamente la fórmula general:

Por lo tanto, para resolver esta ecuación sustituimos las letras por los números:
a = al coeficiente de la incognita elevada al cuadrado. b = al coeficiente de la incognita elevada a la uno. c = al número libre de incognita .

Es importante recordar que si el resultado dentro de la raiz en la formula general es negativo, no tiene soluciones reales.
A partir de esta fórmula obtenemos que las soluciones válidas para esta ecuación son -2 y -3
Tambien podemos usar la
factorización de la siguiente manera. Se abren dos paréntesis, los dos conteniendo una vez a x asi:
== (x + ) y (x + ) ==
Se expresan positivos los dos signos ya que en los dos signos que separan la ecuación son positivos .
Luego se buscan dos números que multiplicados me resulte el entero (6) y sumados me resulte el numero que tiene la otra x que no esta elevada al cuadrado (5) entonces decimos:
2 x 3= 6 y 2 + 3= 5
Luego se coloca el mayor en el paréntesis de la izquierda y el menor en el paréntesis de la derecha así: (x + 3)(x + 2)
Si multiplicamos esta expresión nos dará la ecuación factorizada y así tenemos el valor de las dos "x".

FACTORIZACION

Factorización de Expresiones Algebraicas
Objetivos: Al terminar esta lección podrás expresar polinomios y otras expresiones algebraicas como el producto de
otras expresiones más sencillas.
Cuando multiplicamos dos expresiones conseguimos, generalmente, una expresión más complicada,
bien sea porque tiene más términos o porque el grado de los términos es mayor. La factorización
es el proceso por el cual expresamos una expresión como producto de dos o más factores. La
factorización deshace lo que la multiplicación hace, convirtiendo una expresión que podría ser
complicada, en el producto de dos o más expresiones (factores) que son típicamente más sencillas.
Por ejemplo, si multiplicamos (2x + 5)(x + 3) conseguimos 2x 2 +11x + 15, lo cual tiene más
términos que cualquiera de los dos factores que multiplicamos y es de mayor grado (2) que ambos
factores (que son de grado 1). En este caso decimos que 2x 2 +11x + 15 puede ser factorizado
como (2x + 5)(x + 3).
La factorización será útil para simplificar algunas expresiones como la suma de fracciones y la
división de polinomios. También puede usarse para determinar las soluciones de una ecuación. En
esta lección estudiaremos algunas técnicas que nos facilitan hallar una factorización de una
expresión algebraica dada. Para aprovechar mejor este material es necesario dominar la destreza
de multiplicar expresiones que puedes repasar en la lección 3.
Identificación del factor común
Usamos la propiedad distributiva para realizar la multiplicación de una suma (o resta) de términos
por un factor. Por ejemplo (3 + x)y = 3y + xy . Podemos igualmente usar esta propiedad para
deshacer esta multiplicación. Esto requiere que identifiquemos el factor que es común a todos
los términos en la expresión. En la expresión 3y + xy ,y es el factor común. Por lo tanto nuestra
factorización será 3y + xy = (3 + x)y , ó, equivalentemente, 3y + xy = y(3 + x).
Generalmente conviene factorizar el factor común “máximo” posible. Por ejemplo, en el polinomio
12x 3y2 - 9x 2y3 + 15xy4 podemos identificar como factor común a todos los términos, varios
monomios:
xy es factor común porque
12x 3y2 = 12x 2y × xy
-9x 2y3 = -9xy2 × xy
15xy4 = 15y3 × xy
3xy es factor común porque
12x 3y2 = 4x 2y ×3xy
-9x 2y3 = -3xy 2 ×3xy
15xy4 = 5y3 × 3xy
Similarmente podemos establecer que 3xy2 también es factor común.
Preferimos factorizar el factor común máximo (FCM) de los términos, el cual puede hallarse de
Lección 4 - Factorización de expresiones algebraicas
Preferimos factorizar el factor común máximo (FCM) de los términos, el cual puede hallarse de
la siguiente manera:
Primero: Factorizamos completamente los términos. Esto significa que los factores
obtenidos son primos (que no pueden ser factorizados más).
Segundo: El FCM es el producto de todos los factores presentes en las factorizaciones del
paso previo, elevados a la menor potencia en que aparecen, la cual es la potencia 0
si hay una factorización en la que el factor no aparezca.
Ejemplos:
1) Para hallar el FCM de 15a3{ b5c6, 25ab2c2 , 10a2b4c3}:
Primero: Factorizar los términos:
15a3b5c6 = 3 ×5 × a3 × b5 ×c6
25ab2c2 = 52a × b2 × c2
10a2b4c3 = 2 ×5 ×a2 ×b4 ×c3
ì
í
ï
î
ï
Segundo: Formar el FCM. Los factores presentes son 2, 3, 5, a, b, & c. La
menor potencia de 2 que aparece es 20 (pues el 2 no aparece en
todas las factorizaciones), la de 5 es 51, la de 3 es 30, la de a es
a1, la de b es b2, y la de c es c3. Entonces el FCM es
20 × 51 ×30 × a1 × b2 × c3 = 5ab2c3 .
2) Si queremos factorizar el polinomio 30x3y2 + 12x 2y3z , comenzamos
factorizando completamente sus términos:
30x3y2 = 2 × 3× 5× x 3 × y2
12x 2y3z = 22 ×3× x2 × y3 × z
Luego formamos el FCM: 2 × 3× x 2 × y 2 = 6x 2y2 . Finalmente hacemos la
factorización: 30x3y2 + 12x 2y3z = 6x 2y2 (5x + 2yz).
Ejercicios:
Factoriza completamente los siguientes polinomios:
1) 18a3b + 9abc2 - 27ab4c3
2) -4x 3y2 +14xy3 z + 8xy 4 z2
3) 9xy + 3y 2w
4) 15a - 25b Respuestas
Lección 4 - Factorización de expresiones algebraicas
Reconocimiento de un producto especial
Hay algunas multiplicaciones de polinomios cuyos resultados son productos sencillos. Si
recordamos estas multiplicaciones, al ver uno de tales productos podremos dar su factorización.
Algunos de estos productos son:
1) (x + y)(x - y) = x 2 - y2
2) (x + y)(x + y) = x 2 + 2xy + y2
3) (x + y) x 2 - xy + y( 2 ) = x 3 + y3
4) (x - y) x 2 + xy + y( 2 ) = x 3 - y3
Ejemplos:
3) Usando el producto especial 1, reconocemos que la factorización de x2 - 9 es
(x + 3)(x - 3)
4) En el polinomio w2 + 8w +16 reconocemos al producto especial 2 y por lo
tanto su factorización es (w + 4)(w + 4)
5) La factorización de 8 - a3 es (2 - a) 4 + 2a + a( 2 ), usando el producto 4 de la
lista previa.
6) a3 +1 puede ser factorizado como (a +1) a2 ( - a +1), usando el producto 3 de
la lista previa.
7) A veces es necesario usar un poco de imaginación para reconocer alguno de los
productos especiales como muestra la siguiente factorización:
4a2 - 9b6 = (2a)2 - 3b( 3 )2 = 2a - 3b( 3 ) 2a + 3b( 3 )
8) Otras veces debemos hacer más de una factorización antes de obtener una
factorización completa como en este caso en el que comenzamos identificando
un factor común y luego usamos el producto especial 3:
40 x7 + 5xy 9 = 5x 8x6 + y( 9 ) = 5x 2x( 2 )3 + y( 3 )3 ( )
= 5x 2x2 + y( 3 ) 2x( 2 )2 - 2 x2 × y3 + y( 3 )2 ( )
= 5x 2x2 + y( 3 ) 4x 4 - 2x2y3 + y( 6 )
Lección 4 - Factorización de expresiones algebraicas
Ejercicios
Factoriza completamente las siguientes expresiones.
5) 64 - a2
6) 8a3 + 64
7) 56 - 7x 3
8) 4x 2 + 12x + 9
9) 3xy 6 - 3x
10) x 9
4 - 2x3
2 +1 Respuestas
Factorización de polinomios cuadráticos
El polinomio típico en una variable tiene tres términos: uno cuadrático, uno lineal (i.e. de grado 1)
y uno constante (i.e. de grado 0). Si tal polinomio es factorizable, generalmente lo es como
producto de dos factores de la forma (ax+b). Antes de seguir con más detalles, conviene tener en
cuenta que hay polinomios que no podremos factorizar usando números reales, como, por ejemplo,
x2 +1.
Consideremos la multiplicación (ax + b)×(cx + d). Este multiplicación produce
(ac)x2 + (ad + bc)x + bd . Esto sugiere que al tratar de factorizar un polinomio cuadrático con
dos factores lineales, usaremos factores lineales que tengan como coeficientes de la variable,
números que al multiplicarse den el coeficiente del término cuadrático del polinomio que queremos
factorizar. Los términos constantes de los factores serán tales que al multiplicarse den igual al
término constante del polinomio que queremos factorizar.
Ejemplos:
9) Para factorizar al polinomio 5x2 + 13x + 6, consideramos el siguiente esquema
de factorización: (__ x + __)(__ x + __). Como coeficientes de las x
usaremos los factores de 5, que sólo pueden ser 5 & 1. Como términos
constantes podemos usar 6 & 1, ó -6 &-1, ó 3 & 2, ó -3 & -2. Además cada
miembro de estas parejas de factores pueden ser usados en el primer o en el
segundo factor del esquema. Esto implica que existen 8 formas de completar
el esquema(5x + __)(x + __). Podemos tratar cada una de estas
combinaciones hasta verificar que la factorización correcta es
(5x + 3)(x + 2). Con la práctica podrás determinar la factorización correcta
sin ensayar muchas de las factorizaciones posibles.
10) La factorización de 24a2 + 25a + 6 es (8a + 3)(3a + 2).
Lección 4 - Factorización de expresiones algebraicas
Ejercicios
Factoriza completamente
11) 3x 2 + 17x + 10
12) 40u2 +17u -12
13) 14a2 + 18a + 4 Respuestas
Factorización por agrupamiento
Algunos polinomios de más de tres términos pueden ser factorizados, si comenzamos agrupando los
términos de modo que cada grupo sea factorizable, y al hacerlo descubrimos un factor común o un
producto especial.
Ejemplos
11) Para factorizar el polinomio 2x 2 + 2xy + 3x + 3y, podemos comenzar
agrupando los primeros dos términos y los últimos dos:
(2x2 + 2xy)+ (3x + 3y). Luego factorizamos cada uno de los grupos:
2x(x + y) + 3(x + y). Ahora notamos que (x + y) es factor común a ambos
grupos y terminamos factorizando como (2x + 3)(x + y).
12) La factorización de x2 + 2xy -1 + y 2 , puede conseguirse agrupando los
primeros dos términos y el último. De esa manera, re-escribimos el polinomio
como x 2 + 2xy + y( 2 ) -1. Ahora notamos que el primer grupo es el cuadrado de
(x + y), por lo cual podemos expresar el polinomio como (x + y)2 - 12 , que
reconocemos como uno de los productos especiales con factorización final
(x + y +1)(x + y -1).
Ejercicios
Factoriza completamente
14) 7x 2 + 7xy - 2x - 2y
15) x2 y2 - 9x 2 - y2 + 9
16) -t 4 + t2 + 2rt + r2 Respuestas

ALGEBRA ELEMENTAL

La álgebra elemental es una fundamental y relativamente básica forma de álgebra enseñada a los estudiantes que se presumen tienen poco o nada de conocimiento formal de las matemáticas más allá de la aritmética. Mientras que en aritmética solo ocurren los números y sus operaciones aritméticas elementales (como +, -, ×, ÷), en álgebra también se utilizan símbolos para denotar números (como x, y, a y b). Éstos son llamados variables. Esto es útil porque:
Permite la generalización de
ecuaciones aritméticas (y de inecuaciones) para ser indicadas como leyes (por ejemplo a + b = b + a para toda a y b), y es así el primer paso al estudio sistemático de las propiedades del sistema de los números reales.
Permite la referencia a números que no se conocen. En el contexto de un problema, una variable puede representar cierto valor que todavía no se conoce, pero que puede ser encontrado con la formulación y la manipulación de las ecuaciones.
Permite la exploración de relaciones matemáticas entre las cantidades (por ejemplo, “si usted vende x boletos, entonces, su beneficio será 3x - 10 dólares”).
Estas tres son los hilos principales del álgebra elemental, que deben ser distinguidos del
álgebra abstracta, un tema más avanzado enseñado generalmente a los estudiantes universitarios.
En álgebra elemental, una
expresión puede contener números, variables y operaciones aritméticas. Por convención, éstos generalmente se escriben con los términos con exponente más altos a la izquierda (ver polinomio); algunos ejemplos son:



En un álgebra más avanzada, una expresión también puede incluir
funciones elementales.
Una
ecuación es la aseveración de que dos expresiones son iguales. Algunas ecuaciones son verdades para todos los valores de las variables implicadas (por ejemplo a + b = b + a); tales ecuaciones son llamadas identidades. Las ecuaciones condicionales son verdades para solamente algunos valores de las variables implicadas: x2 − 1 = 4. Los valores de las variables que hacen la ecuación verdadera se llaman las soluciones de la ecuación.

TEORIA DE NUMEROS

La teoría de números es la rama de matemáticas puras que estudia las propiedades de los números en general y de los enteros en particular, así como diversos problemas derivados de su estudio. Contiene una cantidad considerable de problemas que podrían ser comprendidos por "no matemáticos". De forma más general, este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros. Tal como cita Jürgen Neukirch:
La teoría de números ocupa entre las disciplinas matemáticas una posición idealizada análoga a aquella que ocupan las matemáticas mismas entre las otras ciencias.
[2]
El término "aritmética" también era utilizado para referirse a la teoría de números. Este es un término bastante antiguo, aunque ya no tan popular como en el pasado. De allí la teoría de números suele ser denominada alta aritmética,[3] aunque el término también ha caído en desuso. Este sentido del término aritmética no debe ser confundido con la aritmética elemental, o con la rama de la lógica que estudia la aritmética de Peano como un sistema formal. Los matemáticos que estudian la teoría de números son llamados teóricos de números.
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Campos [editar]
Según los métodos empleados y las preguntas que se intentan contestar, la teoría de números se subdivide en diversas ramas.

Teoría elemental de números [editar]
En la teoría elemental de números, se estudian los números enteros sin emplear técnicas procedentes de otros campos de las matemáticas. Pertenecen a la teoría elemental de números las cuestiones de
divisibilidad, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor, la factorización de los enteros como producto de números primos, la búsqueda de los números perfectos y las congruencias. Son enunciados típicos el pequeño teorema de Fermat y el teorema de Euler que lo extiende, el teorema chino del resto y la ley de reciprocidad cuadrática. En esta rama se investigan las propiedades de las funciones multiplicativas como la función de Möbius y la función φ de Euler; así como las sucesiones de números enteros como los factoriales y los números de Fibonacci.
Diversos cuestionamientos dentro de la teoría elemental de números parecen simples, pero requieren consideraciones muy profundas y nuevas aproximaciones, incluyendo las siguientes:
Conjetura de Goldbach sobre que todos los números pares (a partir de 4) son la suma de dos números primos.
Conjetura de los números primos gemelos sobre la infinitud de los llamados números primos gemelos
Último teorema de Fermat (demostrado en 1995)
Hipótesis de Riemann sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann, íntimamente conectada con el problema de la distribución de los números primos.

Teoría analítica de números [editar]
La teoría analítica de números emplea como herramientas el
cálculo y el análisis complejo para abordar preguntas acerca de los números enteros. Algunos ejemplos de esta son el teorema de los números primos y la hipótesis de Riemann. El problema de Waring, la conjetura de los números primos gemelos y la conjetura de Goldbach también están siendo atacados a través de métodos analíticos.

Teoría algebraica de números [editar]
La
teoría algebraica de números es una rama de la teoría de los números en la cual el concepto de número se expande a los números algebraicos, los cuales son las raíces de los polinomios con coeficientes racionales.

Teoría geométrica de números [editar]
La teoría geométrica de números (tradicionalmente llamada geometría de números) incorpora todas las formas de
geometría. Comienza con el teorema de Minkowski acerca de los puntos comunes en conjuntos convexos e investigaciones sobre superficies esféricas.

Teoría combinatoria de números [editar]
La teoría combinatoria de números trata los problemas de la teoría de números involucrando ideas
combinatorias y sus formulaciones o soluciones. Paul Erdős es el creador de esta rama de la teoría de números. Los temas típicos incluyen sistemas cubiertos, problemas de suma cero, diversos conjuntos restringidos y progresiones aritméticas en un conjunto de enteros. Los métodos algebráicos o analíticos son bastante poderosos en este campo.

Teoría computacional de números [editar]
La teoría computacional de números estudia los
algoritmos relevantes de la teoría de números. Los algoritmos rápidos para evaluar números primos y factorización de enteros tienen importantes aplicaciones en criptografía.

Historia [editar]
Los matemáticos en la
India se han interesado en encontrar soluciones enteras a las ecuaciones diofánticas desde la época de los Vedas. El primer uso geométrico de las ecuaciones diofánticas se remonta a los Shulba Sutras, los cuales fueron escritos entre los siglos VIII y VI a. C. Baudhayana (s. VII a. C.) encontró dos conjuntos de enteros positivos a un conjunto de ecuaciones diofánticas simultáneas, y también se usan ecuaciones diofánticas simultáneas con más de cuatro incógnitas. Apastamba (s. VI a. C.) usaba ecuaciones diofánticas simultáneas con más de cinco incógnitas.
Los matemáticos de la época jainia fueron los primeros en descartar la idea de que todos los infinitos son los mismos o iguales. Reconocen cinco tipos de infinitos diferentes: infinito en una o dos direcciones (unidimensionales), infinito en superficies (bidimensional), infinito en todas partes (tridimensional) y perpetuamente infinito (en un número infinito de dimensiones).
La teoría de números fue una de las disciplinas de estudio favoritas entre los matemáticos griegos de
Alejandría, Egipto a partir del siglo III a. C., quienes tenían conciencia del concepto de ecuación diofántica en sus casos particulares. El primer matemático helenístico que estudió estas ecuaciones fue Diofanto.
Diofanto investigó un método para encontrar las soluciones enteras para las
ecuaciones lineales indeterminadas,[4] ecuaciones en las que falta información suficiente para producir un conjunto único de respuestas discretas. La ecuación es un ejemplo de ellas. Diofanto descubrió que muchas ecuaciones indeterminadas pueden ser reducidas a una forma en donde cierta categoría de soluciones son conocidas, incluso a través de una solución que no lo es.
Las ecuaciones diofantinas fueron estudiadas de manera intensiva por los matemáticos indúes medievales, quienes fueron los primeros en buscar sistemáticamente métodos para la determinación de soluciones enteras.
Aryabhata en el 499 da la primera descripción explícita de la solución entera general de la ecuación diofantina lineal , la cual aparece en su texto Aryabhatiya. El algoritmo kuttaka es considerado como una de las contribuciones más significativas de Aryabhata en las matemáticas puras, el cual encuentra las soluciones enteras de un sistema de ecuaciones diofantinas lineales, un problema de importante aplicación en la astronomía. También encuentra la solución general de la ecuación lineal indeterminada utilizando este método.
Brahmagupta trabaja en 628 las ecuaciones diofantinas más difíciles. Utiliza el método chakravala para resolver las ecuaciones diofantinas cuadráticas, incluyendo aquellas de la forma de la ecuación de Pell tal que . Su Brahma Sphuta Siddhanta fue traducido al árabe en 773 y al latín en 1126. La ecuación fue propuesta como un problema por el matemático francés Pierre de Fermat. La solución general de esta forma particular de la ecuación de Pell fue encontrada 70 años más tarde por Leonhard Euler, aunque la solución general de la ecuación de Pell fue encontrada 100 años más tarde por Joseph-Louis de Lagrange en 1767. Sin embargo, varios siglos antes, la ecuación de Pell fue trabajada por Bhaskara II en 1150 utilizando una versión modificada del método chakravala de Brahmagupta, encontrando la solución general de otras ecuaciones cuadráticas intermedias indeterminadas y ecuaciones diofánticas cuadráticas. El método chakravala para encontrar la solución general de la ecuación de Pell era más simple que el método utilizado por Lagrange 600 años más tarde. Bhaskara encuentra también la solución de otras ecuaciones cuadráticas indeterminadas, cúbicas, cuárticas y polinómicas de mayores grados. Narayana Pandit perfeccionó aún más las demás cuadráticas indeterminadas para las ecuaciones de grados superiores.